Udomačena statistika

Mladi statistiki pišemo blog.

Ob letošnji Fieldsovi medalji za področje verjetnosti: Isingov model v današnjih dimenzijah in času

Komentiraj

Ob letošnjem svetovnem kongresu matematikov (ICM), ki sem se ga kot poslušalec in predavatelj na enem od spremnih (tako-imenovanih satelitskih) dogodkov udeležil tudi sam, so bile podeljene Fieldsove medalje za matematiko. Prejeli so jih Maryna Viazovska za dokaz, da mreža E8 omogoča razporeditev sfer z največjo gostoto v 8 dimenzijah in nadaljnje prispevke k s tem povezanimi ekstremalnimi in interpolacijskimi problemi v Fourierovi analizi, James Maynard za prispevek k analitični teoriji števil, ki so vodili k bistvenemu napredku v razumevanju strukture praštevil in prispevek k diofantski aproksimaciji, June Huh za povezavo med Hodgevo teorijo in kombinatoriko, dokaz treh pomembnih domnev (Dowling-Wilson, Heron-Rota-Welsh in krepka Masonova domneva) in razvoj teorije Lorentzovih polinomov, ter Hugo Duminil-Copin za rešitev dlje časa odprtih problemov v verjetnostni teoriji faznih prehodov v statistični fiziki, posebej v dimenzijah tri in štiri (o tem več tukaj).

Fieldsove medalje so nagrade najboljšim matematikom, starim manj kot 40 let. Na področju matematike veljajo za ekvivalent Nobelovim nagradam na drugih področjih, čeprav obstaja tudi Abelova nagrada, kjer ni starostnih omejitev in je podeljena vsako leto. Fieldsova medalja Hugu Duminil-Copinu nadaljuje tradicijo podeljevanja te nagrade raziskovalcem s področja verjetnosti. Na preteklih kongresih ICM so bile tako podeljene nagrade Alessiu Figalliju (v letu 2018), Martinu Hairerju (2014, slednji je bil eden treh koordinatorjev izvedbe letošnjega kongresa), Stanislavu Smirnovu (2010) ter Wendelinu Wernerju in Alexandru Okounkovu (2006).

Fieldsovi nagrajenci 2022, od leve k desni: Maryna Viazovska, James Maynard, June Huh, Hugo Duminil-Copin, vir: Academia Europaea.

Pregledna prispevka o njegovem delu sta napisala Alexander Okounkov in Martin Hairer. Duminil-Copin je nagrado prejel predvsem za svoje delo pri dokazovanju značilnosti faznih prehodov v Isingovem modelu, znanem s področja matematične fizike. V svoji osnovni obliki Isingov model sestavljajo pozitivni in negativni obrati v vsakem od vozlišč mreže (angl. lattice), s čimer se zajame osnovna značilnost med seboj povezanih fizikalnih delcev. Vrednosti obratov v vozliščih se lahko spreminjajo skozi dinamiko modela. Modelu pripadajoča je njegova energija, ki jo izračunamo iz Hamiltonove funkcije. Sistem delcev konvergira k ravnovesju, kjer je energija modela najmanjša. Verjetnost, da bo sistem v ravnovesju imel določeno konfiguracijo pozitivnih in negativnih obratov je določena z Boltzmannovo verjetnostno porazdelitvijo.

Vizualni prikaz Isingovega modela, modra vozlišča imajo pozitiven, rdeča pa negativen obrat. Vir: Okounkov, 2022.

Kmalu po izvornih delih o Isingovem modelu je bilo opaženo (Kramers in Wannier, 1941; Onsager, 1944), da se model pri dimenziji višji od ena obnaša drugače pri visokih in nizkih temperaturah (to imenujemo fazni prehod). Pri visokih temperaturah je obnašanje modela “neurejeno” ter homogeno med vozlišči (plusi in minusi so enakomerno porazdeljeni povsod), pri nizkih pa nekatera vozlišča preferirajo plus in nekatera minus. Nekaj simulacij v Isingovem modelu za različne vrednosti izhodiščnih parametrov lahko vidite na spodnjih dveh slikah: v prvi je simulacija dinamike osnovnega Isingovega modela, v drugem pa Pottsovega, kjer lahko vozlišča zavzamejo več vrednosti in ne le dve. Simulacije prikazujejo spreminjanje konfiguracije modela, dokler ne najde ravnovesja.

Simulacije gibanja v Isingovem modelu, vir: Okounkov, 2022.
Simulacije gibanja v Pottsovem modelu, vir: Okounkov, 2022.

V več prispevkih (Aizenman idr., 2015; Duminil-Copin idr., 2016; Duminil-Copin idr., 2017; Aizenman in Duminil-Copin, 2021) je Duminil-Copin s sodelavci dokazal nekaj temeljnih izrekov o obnašanju, zveznosti in skalirnih limitah Isingovega in Pottsovega modela v dveh, treh in štirih dimenzijah. Pri tem je uporabil model naključnih skupin (angl. random cluster) in model pronicanja (angl. percolation), kjer se vozlišča lahko dodajajo ali brišejo z določenimi verjetnostmi. Njegovo delo pri dokazovanju faznih prehodov med stanji v Isingovem modelu sega na različna matematična področja, od topologije in algebre do matematične analize, in je tisto, za katero je prejel nagrado. Mnoga vprašanja glede obnašanja Isingovega modela, posebej v dimenzijah tri in štiri, kjer postane matematično delo z modelom zapleteno, so bila pred njegovim delom nerešena in neraziskana.

Isingov in Pottsov model sta predmet raziskovanj v matematični fiziki, zlasti njenem delu poimenovanem statistična fizika (o njej smo na blogu že pisali). Slednja uporablja pristope verjetnosti in statistike za opazovanje fizikalnih pojavov. Kljub temu najdeta uporabe tudi na širšem področju statistike, kot denimo v tem članku. Prav tako pa raziskovanje Duminil-Copina in sodelavcev preči raziskovanja na področju skalirnih limit ravninskih naključnih procesov in Schramm-Loewnerjevih evolucijskih procesov (SLE), o katerih smo tu že pisali. Mentor Duminil-Copinovega doktorata je bil Stanislav Smirnov, ki je svojo Fieldsovo medaljo med drugim dobil tudi za preučevanje SLE, v enem od pogovorov ob prejemu medalje pa je Duminil-Copin zaupal, da ga je na Smirnova napotil Wendelin Werner, ki je leta 2006 prejel Fieldsovo medaljo prav za raziskovanje SLE.

Naj sklenem z nekaj splošnimi opažanji s kongresa. Raziskovanje verjetnosti je postalo področje, ki je trenutno v samem ospredju matematičnih razprav in obljublja močan razvoj v prihodnje (na kongresu smo poslušali več predavanj, ki so povezovala področja verjetnosti denimo s teorijo števil, algebrajsko geometrijo in topologijo). Predstavlja matematični temelj področij statistike, podatkovne znanosti in ekonometrije, trenutno so zelo živa in pogosta raziskovanja na meji verjetnosti in strojnega učenja. V ospredju pogovorov je tudi bodoča vloga »uporabne matematike« (kamor bi lahko šteli tudi statistiko), kjer pa enotnih mnenj ni, kongresi ICM so seveda namenjeni »čisti«, abstraktni matematiki.

Opaziti je tudi vedno večji razkorak med področjema verjetnosti in statistike (na to je v svojem govoru na uradni večerji nedavno poteklega kongresa Institute of Mathematical Statistics v Londonu opozoril tudi Bernard Silverman). Raziskovalci področja verjetnosti vidijo svojo pot kot “čisti” matematiki in se vedno bolj približujejo matematičnim združenjem kot sta Mednarodna matematična zveza IMU (organizator kongresov ICM) in Evropsko združenje matematikov EMS. Dovolj zgovorno je tudi, da sta v klasifikacijah kongresov, kot je bil ICM, področji verjetnosti in statistike povsem ločeni, ne le kot kategoriji pač pa tudi v zaporedju kategorij, kjer sta postavljeni daleč vsaksebi.

Zdi se, da se nahajamo v dobi, ko bo matematika kot takšna doživela močan razmah s še močnejšo vlogo na vseh drugih področjih raziskovanja in znanosti, kot je bilo to doslej. Osnovno gonilo takšnih trendov je razmah raziskovanj umetne inteligence. Tudi zato veliko razprav in zanimanja za kongres. Bralcem kot zelo zanimivo poljudnejše branje svetujem blog What’s new, ki ga piše Terence Tao, trenutno eden izmed vodilnih matematikov v mednarodnem merilu.

Avtor: Andrej Srakar

Economist and mathematician, working mainly in probability theory and mathematical analysis.

Oddajte komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Komentirate prijavljeni s svojim WordPress.com računom. Odjava /  Spremeni )

Twitter picture

Komentirate prijavljeni s svojim Twitter računom. Odjava /  Spremeni )

Facebook photo

Komentirate prijavljeni s svojim Facebook računom. Odjava /  Spremeni )

Connecting to %s