Udomačena statistika

Mladi statistiki pišemo blog.

Kako nam lahko verjetnost pomaga razložiti dogajanja v vesolju? O Schramm-Loewnerjevih naključnih procesih

1 komentar

Slika: Tuttejeve vložitve v naključnih ravninskih mapiranjih. Vir: Jason Miller.

Zapis je nadaljevanje mojega poročanja z lanskoletnega svetovnega kongresa verjetnosti in statistike Bernoulli-IMS. Večino kongresa sem se udeleževal paralelnih sekcij s področja verjetnosti in naključnih procesov, v največji meri tistih z zelo posebnega področja trenutnega raziskovanja, ki je namenjeno iskanju tako imenovanih skalirnih limit naključnih procesov in matematičnih objektov.

Področje tvori enega jeder današnjega raziskovanja verjetnosti in ima močne posledice tudi za bolj praktična in uporabna raziskovanja, zlasti tista na področju matematične fizike. Področje je blizu tudi trenutno zelo aktualnim matematičnim raziskovanjem na področju kompleksne analize.

Vendar najprej navedimo nekaj definicij. Skalirno limito je težko formalno definirati, gre za limito ustrezno transformiranega naključnega procesa, ki mora zadoščati pogojem konformne nespremenljivosti (angl. conformal invariance). Skalirna limita je praviloma precej preprostejši objekt od pripadajočega osnovnega naključnega procesa, kateremu se slednji približuje v limiti. Če bi nek naključni proces na ravnini pogledali z velike razdalje, bi videli le njegovo skalirno limito.

Konformna nespremenljivost označuje lastnost dveh naključnih procesov, ki sta med seboj nespremenljiva, če je med njima mogoča transformacija, ki ohranja kote v Riemannovi geometriji (torej geometriji kompleksnih mnogoterosti). Takšni transformaciji pravimo konformna transformacija.

Lastnost Markova za naključne procese (angl. Domain Markov property) označuje lastnost, da je, ko enkrat poznamo začetni del porazdelitve procesa na neki naključni krivulji, ves preostali del določen z njegovo osnovno porazdelitvijo, ki je neodvisna od vrednosti izven območja krivulje. Gre za opredelitev lokalne narave naključnega procesa.

V prelomnem prispevku iz leta 2000 v reviji Israel Journal of Mathematics se je izraelsko-ameriški matematik Oded Schramm spraševal, kakšne so skalirne limite dveh naključnih procesov: zank očiščenega naključnega hoda (angl. loop-erased random walk) ter enotno vpetega drevesa (angl. uniform spanning tree). Pri obeh je dokazal, da se njuna skalirna limita prevede na iskanje limite rešitve stohastične oblike Loewnerjeve diferencialne enačbe, zapisane spodaj:

kjer je funkcija ksi (ξ) produkt korena difuzijskega parametra kapa, κ, in Brownovega gibanja (s tem enačba iz deterministične preide v stohastično obliko). Pod predpostavkama konformne nespremenljivosti in lastnosti Markova je Schramm dokazal, da se skalirna limita zank očiščenega naključnega hoda prevede na skalirno limito procesa, določenega s stohastično obliko zgornje Loewnerjeve diferencialne enačbe, ki jo odtlej v njeni stohastični obliki imenujemo Schramm-Loewnerjeva diferencialna enačba. Podoben dokaz mu je uspel za enotno vpeto drevo, sklepal pa je, da je enako mogoče narediti za številne, če ne celo za večino naključnih procesov na ravnini.

Zelo kmalu so raziskovalci pokazali tudi, da so skalirne limite procesov, povezanih s procesi pronicanja (angl. percolation) in Isingovimi procesi, Schramm-Loewnerjevega tipa. Tukaj igra ključno vlogo povezava z (enodimenzionalnim) Brownovim gibanjem, ki je skalirna limita osnovnega naključnega hoda. Dejansko se vedno bolj potrjuje osnovna Schrammova domneva, da so tako rekoč vsi naključni procesi na ravnini v skalirni limiti Schramm-Loewnerjevi naključni procesi (v angleščini jim rečemo Schramm-Loewner evolution oziroma SLE).

Slika: Prikaz krivulj SLE za različne vrednosti parametra κ. Vir: Vlad Margarint.

Veliko vlogo pri preučevanju igra difuzijski parameter enodimenzionalnega Brownovega gibanja, ki se označuje z grško črko kapa, κ. Schramm-Loewnerjeve krivulje so namreč treh vrst, v odvisnosti od velikosti κ:

– če velja κ≤4, je krivulja preprosta krivulja na ravnini;

– če velja 4<κ<8, ima krivulja zanke in ne more prekriti ravnine;

– če velja κ≥8, krivulja lahko prekrije celotno ravnino.

Slika: Samoizogibajoči se naključni hod, vir: Gregory F. Lawler.

Nekatere vrednosti κ so značilne za znane naključne procese:

– če je κ=2, gre za zank očiščeni naključni hod, obravnavan v izvornem Schrammovem prispevku;

– če je κ=8/3, gre za samoizogibajoče se naključne hode (na sliki zgoraj);

– če je κ=3, gre za skalirno limito Isingovih naključnih procesov;

– če je κ=4, gre za skalirno limito procesov, povezanih z Gaussovimi prostimi polji (angl. Gaussian free fields, na sliki spodaj);

– če je κ=6, gre za skalirno limito kritičnih procesov pronicanja na rešetkah (angl. critical percolation on a lattice);

– če je κ=8, gre za mejo med enotno vpetim drevesom in njegovo dualno obliko.

Slika: Gaussovo prosto polje. Vir: Avelio Sepúlveda.

Poznamo dve temeljni obliki Schramm-Loewnerjevih krivulj: kordalno (angl. chordal) in radialno (angl. radial). Pri prvi krivulja naključnega procesa poteka med dvema točkama na meji preučevane množice točk, pri drugi pa med točko na meji in točko znotraj območja točk. Po svoji naravi so Schramm-Loewnerjeve krivulje fraktalne, Rohde in Schramm sta zapisala tudi natančno matematično razmerje med Hausdorffovo fraktalno dimenzijo krivulje d in difuzijskim parametrom κ: d=1+(κ/8).

Če pri Schramm-Loewnerjevih krivuljah dovolimo možnosti zank, govorimo o konformnih združbah zank (angl. conformal loop ensemble oz. CLE), ki tvorijo drug velik del tovrstnih raziskovanj, prav tako pa se jih preučuje v odvisnosti od parametra κ. Raziskovanje Schramm-Loewnerjevih krivulj je močno povezano tudi z Liouvillovo kvantno gravitacijo (angl. Liouville quantum gravity oz. LQG), ki je ravninska verzija gravitacije iz Einsteinove teorije relativnosti. Prav tako se raziskovanje velikokrat navezuje na pojem Gaussovega prostega polja (angl. Gaussian free field oz. GFF), ki je večdimenzionalna, navadno ravninska verzija Gaussovih krivulj.


Slika: Liouvillovo kvantno gravitacijsko polje. Vir: Benoit in Powell.

Od tod do povezave na dogajanja v svetu, ki ga živimo, še bolj pa v vesolju, je le kratek korak. Schramm-Loewnerjevi naključni procesi so (samostojno in kot del teorije konformnih polj) imeli precejšnjo vlogo pri nekaterih pomembnih odkritjih in teorijah na področju matematične fizike in kozmologije, denimo teoriji strun. Veliko vprašanje pa ostaja njihov prenos v več dimenzij. Trenutno to vprašanje še ni naslovljeno, verjetno pa bi zahtevalo (zgolj) rešitev Schramm-Loewnerjeve diferencialne enačbe za več kompleksnih spremenljivk ter ustrezno definicijo večdimenzionalnega Brownovega gibanja. Mogoče je, da bi z rešitvijo tega problema dobili močan aparat bodočih razlag vesolja, v katerem živimo.

Jedro raziskovanja tega področja so vrhunske skupine, kot je na primer skupina prof. dr. Scotta Sheffielda iz ameriške univerze MIT, ki vključuje mnoge trenutno vodilne mlajše raziskovalce na področju verjetnosti, ki so pogosti prejemniki vodilnih matematičnih nagrad: Nike Sun, Jasona Millerja, Nino Holden, Xina Suna, Ewaina Gwynnea, Yilin Wang, Toma Albertsa, Morrisa Anga in Promita Ghosala, če navedem le nekatere. Veliko raziskovanja se veže tudi na raziskovalce področja stohastičnih parcialnih diferencialnih enačb, kot so Rémi Rhodes, Vincent Vargas, Guillaume Remy in Antti Kupiainen. Velja omeniti tudi pretekla Fieldsova nagrajenca Wendelina Wernerja in Stanislava Smirnova, ki sta oba prejela nagrado prav za raziskovanja SLE, Gregoryja F. Lawlerja, ter mlajše probabiliste Huga Duminil-Copina, Christopha Garbana, Avelia Sepúlvedo, Eveliino Peltolo, Ellen Powell in Juhana Aruja. Na svetovnem kongresu Bernoulli-IMS se je predstavilo tudi več raziskovalcev tega področja v Južni Koreji.

Na področju se odkritja trenutno vrstijo na nekajmesečni ravni. Revija Quanta je tako poročala o odkritjih na področju Liouvillove kvantne gravitacije, pa tudi o odkritjih Duminil-Copina in sodelavcev s področja konformne nespremenljivosti. Bralcem torej priporočam, da področju sledijo, da tudi sami spoznajo, kako pomembno je lahko raziskovanje verjetnosti in naključnih procesov za razumevanje sveta in vesolja, v katerem živimo.

Avtor: Andrej Srakar

Economist and mathematician, working mainly in probability theory and mathematical analysis.

One thought on “Kako nam lahko verjetnost pomaga razložiti dogajanja v vesolju? O Schramm-Loewnerjevih naključnih procesih

  1. Pingback: Ob letošnji Fieldsovi medalji za področje verjetnosti: Isingov model v današnjih dimenzijah in času | Udomačena statistika

Oddajte komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Komentirate prijavljeni s svojim WordPress.com računom. Odjava /  Spremeni )

Twitter picture

Komentirate prijavljeni s svojim Twitter računom. Odjava /  Spremeni )

Facebook photo

Komentirate prijavljeni s svojim Facebook računom. Odjava /  Spremeni )

Connecting to %s