Udomačena statistika

Študenti statistike pišemo blog.

Kockar, ne jezi se

4 komentarji

V naravi verjetnosti je, da se bodo zgodile tudi manj verjetne stvari. (Aristotel)1

Veseli december je mimo, zima pa se je šele dobro začela. Še vedno dolge večere si lahko med drugim popestrimo z namiznimi igrami. Meni je tak način preživljanja časa zelo pri srcu, kot statistik pa si seveda ne morem pomagati, da ob metanju kock in vlečenju kartic ne bi razmišljala o verjetnosti in statistiki. Omenjena igralna mehanizma nista priljubljena le v igrah, ampak sta železni repertoar prav vsakega uvoda v verjetnosti račun. Metanje kock ali kovancev se uporablja za ponazarjanje neodvisnih slučajnih dogodkov, karte in vlečenje krogel (brez vračanja) pa navadno za odvisne slučajne dogodke.

Eno izmed napačnih prepričanj pri igrah izhaja ravno iz napačnega razumevanja koncepta neodvisnosti slučajnih dogodkov. Vemo, da je pri metu kocke s šestimi ploskvami verjetnost vsakega od izidov 1/6, zato se razjezimo, ko imamo pri Človek ne jezi se smolo in na primer večkrat zapored vržemo ena. Verjetnost, da se to zgodi dvakrat zapored je 1/6 krat 1/6, torej 1:36. Verjetnost, da se to zgodi trikrat zapored je 1:216. Za štirikrat zapored je že precej majhna, 1:1296. In tako dalje. Malo verjetno pa ne pomeni nemogoče.  Lahko se zgodi, da tudi dvajsetkrat zapored vržemo isto številko, pa to ne pomeni nujno, da je nekaj narobe s kocko. Kocka nima spomina, zato je vsak posamezen izid neodvisen od drugega. Če nam nekajkrat zapored uspe vreči šestico, je verjetnost, da bomo spet vrgli šestico enaka kot verjetnost kateregakoli drugega izida poskusa.

Zmotno prepričanost, da se bo nekaj dogajalo pogosteje, ker se je v prejšnjih poskusih zgodilo redkeje, in obratno, da se bo nekaj dogajalo redkeje, ker se je prej dogajalo pogosteje, poznamo pod imenom kockarjeva zmota oziroma angleško Gambler’s fallacy ali tudi Monte Carlo fallacy. Avgusta 1913 se je namreč v tamkajšnji igralnici zgodilo, da je na ruleti kroglica šestindvajsetkrat zapored padla na črno barvo. Igralci so v prepričanju, da bo slej ko prej padla na rdečo, izgubili velike vsote denarja. Pogost primer tovrstne zmote je tudi napovedovanje spola otrok. Mnogi starši, ki imajo enega ali več otrok istega spola, so zmotno prepričani, da je bolj verjetno, da bo naslednji otrok nasprotnega spola. Tudi rojstva otrok so neodvisni dogodki (pri čemer razmerje ni točno 50:50, ampak je verjetnost za moškega potomca nekoliko višja).

Če bi kocko metali dovolj dolgo, pa bi vendarle opazili, da se rezultati na dolgi rok stabilizirajo. Kot pravi zakon velikih števil, se z večanjem števila poskusov povprečna vrednost izida približuje pričakovani vrednosti. O porazdelitvi aritmetične sredine neodvisnih spremenljivk pri velikem številu ponovitev pa govori centralni limitni teorem, in sicer se porazdelitev z večanjem števila poskusov približuje normalni. Za boljše razumevanje, vsaj tistim, ki ste manj domači v statistiki, priporočam v ogled Creature Cast video, kjer je centralni limitni teorem na simpatičen način razložen z zajčki in zmaji.

Na primeru meta kock to pomeni, da bi morala igra trajati precej dlje kot običajno, da bi lahko pričakovali stabilizacijo izidov in v nasprotnem primeru podvomili v poštenost kocke. Koliko poskusov potrebujemo, je odvisno od tega, kakšno natančnost pričakujemo, torej kakšno napako smo pripravljeni dopustiti. Po mojih izkušnjah ena partija katerekoli namizne igre traja premalo krogov, da bi prišel do izraza zakon velikih števil.

Uravnavanje izidov meta kock – Primer Naseljencev otoka Catan

Nekaterim igralcem namiznih iger se prevelika prepuščenost slučajnosti ni zdela poštena, zato so začeli razvijati simulatorje meta kock, ki poskrbijo za uravnoteženost vseh izidov, ali pa kocke nadomestijo s karticami. Poglejmo si ta princip na primeru Naseljencev otoka Catan, ene izmed najbolj priljubljenih sodobnih namiznih iger.

Igralna mehanika pri Catanu temelji na verjetnostih vsote izidov meta dveh kock.  Igralno ploščo sestavljajo šestkotniki, ki predstavljajo različne pokrajine in prinašajo različne surovine. Šestkotniki so označeni s številkami, te pa predstavljajo vsote izidov meta dveh kock (razpon od 2 do 12, brez 7, ki je najbolj verjeten izid).

catan

Svoja naselja postavljamo na oglišča šestkotnikov, pri čemer skušamo maksimizirati prihodek surovin. Po sedmici sta najbolj verjetna izida 6 in 8, ki lahko vsak padeta na 5 različnih načinov: šest kot vsota 1 in 5, 2 in 4, 3 in 3, 4 in 2, ter 5 in 1, osem pa kot vsota 2 in 6, 3 in 5, 4 in 4, 5 in 3, ter 6 in 2. Verjetnost vsake teh dveh vsot je 5:36 (0.139). Naslednji najbolj verjetni sta vsoti 5 in 9, ki lahko padeta na 4 različne načine, sledita 4 in 10, ki lahko padeta na 3 različne načine, nato 3 in 11, ki lahko padeta na 2 načina.  Najmanj verjetno se met kock izide v vsotah 2 in 12, ki lahko padeta na samo en način 1:36 (0.028).

Zaradi razmeroma nizkega števila igralnih krogov pa se vseeno lahko zgodi, da v neki igri večkrat dobimo vsoto 2 ali 12 kot katerega od teoretično bolj verjetnih izidov. Oglišče šestkotnikov 3, 4, 5 je načeloma boljša izbira od oglišča 4, 5, 5. Pri izbiri je treba upoštevati še, katere surovine potrebujemo, a to je druga zgodba.

Kot rečeno, prevelika prepuščenost slučajnosti odbija določene igralce, zato so razvijalci igre pripravili dodatek Kartice z dogodki, kjer mehanizem meta kock nadomestimo z vlečenjem kartic, ki predstavljajo enega izmed možnih izidov meta dveh kock. Ker kartic ne vračamo, gre za neodvisne dogodke, kar zagotavlja enakomernejšo porazdelitev kot pri dejanskem metu kocke. Da se elementa slučajnosti ne znebimo povsem, se nad spodnjih pet kartic doda kartica »Novo leto«, po kateri se kupček ponovno premeša. Pet kombinacij torej ni uporabljenih, vsaj ne pred ponovnim mešanjem kupčka.

Če imate radi slučajnost in nepredvidljivost, torej izbirajte igre s kockami (ali metanje kovanca), a brez vroče krvi, prosim! Če želite nekoliko več možnosti nadzora in načrtovanja, raje posegajte po igrah s kartami (vendar naj kart ne bo preveč!). Če želite biti sami svoje usode krojač, imate poleg šaha še nekaj iger brez elementa slučajnosti (razen pri izbiri začetnega igralca). Karkoli boste izbrali, želim vam veselo in igrivo 2015!

 

1. “It is in the nature of probability, that improbable things will happen.” Citat sem zasledila v knjigi The Lady Tasting Tea.

Advertisements

Avtor: Dr. Ana Slavec

Svetovalka za statistiko na centru odličnosti InnoRenew CoE. Pred tem je bila sedem let raziskovalka na Fakulteti za družbene vede. Je članica upravnega odbora Društva mlada akademija, urednica bloga Udomačena statistika ter sovoditeljica Meta PHoDcasta. Na Twitterju je @aslavec.

4 thoughts on “Kockar, ne jezi se

  1. Pingback: Meta PHoDcast 15: Ana Slavec, sociologinja

  2. Pingback: Včasih je manj več ali uvod v inferenčno statistiko | Udomačena statistika

  3. Pingback: Stara družba, nova družba: trendi kvantitativnega raziskovanja s 70. konference AAPOR | Udomačena statistika

  4. Pingback: Štiri anketne napake na primeru predreferendumskih anket | Udomačena statistika

Oddajte komentar

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

Komentirate prijavljeni s svojim WordPress.com računom. Odjava / Spremeni )

Twitter picture

Komentirate prijavljeni s svojim Twitter računom. Odjava / Spremeni )

Facebook photo

Komentirate prijavljeni s svojim Facebook računom. Odjava / Spremeni )

Google+ photo

Komentirate prijavljeni s svojim Google+ računom. Odjava / Spremeni )

Connecting to %s